炉石竞技场 我能混几场

某玩家沉迷炉石不能自拔，虽然实力只有贴吧水平。今天他提出了一个小问题：

"如果我的胜率是50%，那我能在竞技场里赢几场？"

竞技场的比赛规则很有意思：赢满12场或者输满3场即结束游戏。因此分别考虑这两种情况，设赢得比赛的概率为$Q$

赢满12场的大神

0负12胜的王者玩家

这种情况是最简单的，每场都赢，连赢12把

$$P_0=Q^{12}$$

1负12胜的钻石玩家

共计13场比赛，其中最后一把为胜，前12场中不小心输了一把，共有12种输法

$$P_1=C_{12}^1\times Q^{12}\times (1-Q)$$

2负12胜的白金玩家

共计14场比赛，其中最后一把为胜，前13场中意外输了两场

$$P_2=Q^{12}\times (1-Q{)}^2\times C_{13}^2$$

输满3场的倔强青铜玩家

这些玩家有个共同特点，那就是最后一把输掉了饮恨离场，在此之前可能赢了$[0,11]$把，但已经输了2把。设赢了 $n$ 场，那么总共比赛 $n+3$，前 $n+2$场中赢了$n$场，有$C_{n+2}^n$种可能。

$$P_n=Q^n\times (1-Q{)}^3\times C_{n+2}^n$$

综合以上所有情况，一个获胜概率为$Q$的玩家，在竞技场里的获胜数期望为

$$E=12\times \sum _{i=0}^2{P}_i+\sum _{n=0}^{11}n\times P_n$$

当一个玩家是平均水平，即取 $Q=0.5$，带入可得，$E\approx 2.99$ 这大概就是为啥3场比赛获胜的奖励和你的入场成本持平的原因吧。